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Commentaires sur l'affiche Compter avec le 27e Kangourou
Lien vers l'affiche (pdf, 68 Ko) • Compter les triangles
Dans le trillage de côté 2, on voit 4 triangles de côté 1 (dont au moins un côté est vert) et 1 triangle de côté 2 (rose) ; au total 5 triangles.
Dans le trillage de côté 3, on voit 9 triangles de côté 1 ; plus 3 triangles de côté 2 (celui du haut est dessiné en rose) ; plus 1 triangle de côté 3 (dont on a dessiné la partie inférieure en rouge) ; au total 9+3+1, soit 13 triangles.
Dans le trillage de côté 4, on voit 16 triangles de côté 1, plus 7 triangles de côté 2 (6 pointent vers le bas et 1 pointe vers le haut, dessiné en rose) ; plus 3 triangles de côté 3 (celui du bas est dessiné en rouge) ; plus 1 triangle de côté 4 (dont on a dessiné la partie supérieure en bleu) ; au total 16+(6+1)+3+1, soit 27 triangles.
Note : dans un trillage de côté n, il y a n2 triangles de côté 1 (en les comptant par "lignes" : 1+3+…+(2n–1), cette somme valant bien n2, d'après la figure vue dans l'affiche de l'année dernière, ici reproduite).• Compter les diagonales (d'un polygone convexe)
Pour chaque sommet du polygone à n côtés, il y a n–3 diagonales (allant vers chacun des points autres que ce sommet et ses 2 voisins).
Le dessin de l'affiche veut le montrer en dessinant d'une même couleur le sommet et les n–3 diagonales qui en partent. Cela ferait n×(n–3) diagonales ; mais le dessin montre bien qu'alors, chaque diagonale est tracée deux fois… D'où le résultat : dans un polygone convexe à n côtés, il y a n(n–3)/2 diagonales !
Les réponses sont donc :
3 côtés, 0 diagonale,
4 côtés, 2 diagonales,
5 côtés, 5 diagonales,
6 côtés, 9 diagonales,
7 côtés, 14 diagonales,
8 côtés, 20 diagonales,
9 côtés, 27 diagonales.
