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Les flexagones du Kangourou

Le dépliant Les flexagones du Kangourou permet de construire plusieurs flexagones, curieux objets hexagonaux dont les faces jouent à cache-cache.

Une fois découpés les patrons, les textes et images figurant dans ce dépliant peuvent avoir été quelque peu éparpillés ; ils sont donc repris, pour la plupart, ci-dessous.
Ce dépliant figure à notre catalogue : Les flexagones du Kangourou.

L'objet que le Kangourou vous donne ici à construire se présente comme un hexagone. Mais il est plus curieux qu'il en a l'air ; car c'est un objet à trois faces. Au début, on ne voit bien que 2 faces : le recto et le verso. Mais il y a une face cachée… que la manipulation fait apparaître !

Conseils
Les montages que nous vous proposons ici sont étonnants… et vous allez surprendre vos amis. Pour vous habituer, nous vous conseillons de monter d'abord le "flexagone de Stone" et de le manipuler un moment (il vous faudra des ciseaux et de la colle). Ensuite montez le flexagone sans colle. Et enfin, montez le flexagone blanc sur lequel (une fois monté) vous pourrez dessiner les figures que vous voulez.
Faites les montages et les manipulations proposés par le Kangourou dans l'ordre indiqué (1, 2, 3 puis 4).

Histoire des flexagones
Dans les années 1950, Martin Gardner écrivait régulièrement des mathématiques amusantes dans la revue Scientific American. C'est là qu'il fit connaître au public les "flexagones", c'est-à-dire des polygones qui flexent (flexible = qui se laisse plier). Ces flexagones avaient été découverts, en 1939, par Arthur H. Stone, alors que, jeune étudiant, il suivait l'un de ses premiers cours à l'université de Princeton (États-Unis). En fait, il les a découverts par hasard et parce qu'il était anglais… En effet, les feuilles de classeur qu'il venait d'acheter étaient trop grandes pour le classeur qu'il avait apporté d'Angleterre. Il découpa donc les bords de ces feuilles et s'amusa à plier ces bandes de papier. Il s'aperçut qu'il pouvait assez facilement plier des triangles équilatéraux successifs de manière à former un hexagone. Amenant un bout de bande sur l'autre, après une subtile torsion, il eut l'idée de les coller. Il coloria alors un côté de l'hexagone en bleu et l'autre en rouge. C'est alors qu'il fut très intrigué par une certaine manipulation qui lui faisait "ouvrir" son hexagone comme une fleur qui éclôt. En poussant le mouvement, il eut alors une fantastique surprise : la face bleue avait disparu et une face non coloriée lui était apparue ! Très excité, il attendit cependant la fin du cours pour en parler à ses copains mathématiciens et physiciens. Ils s'appelaient Bryant Tuckerman, John W. Tukey et Richard Feynman. Après avoir étudié ensemble toutes sortes de flexagones, tous quatre devinrent plus tard célèbres dans leur discipline…

1. Le montage du flexagone

a. Découpez la bande "flexagone de Stone" (10 triangles équilatéraux recto-verso).
b. Rainez chacun des plis marqués (c'est-à-dire faites une rainure en repassant les traits avec la pointe d'un crayon et en vous aidant d'une règle).
c. Marquez bien chaque pli, dans les deux sens.
d. Pliez, le long de 3 segments, selon le schéma.
e. Pour finir, faites passer le triangle grisé sous l'autre.
f. Collez les deux triangles grisés l'un à l'autre.

2. La manipulation du flexagone
Lorsque le flexagone n'est pas vraiment à plat, il a tendance à se poser sur trois sommets A, C, E, son centre O étant plus élevé. Les côtés OB, OD et OF laissent alors voir une ouverture. Pour faire apparaître la face cachée, il faut "flexer" de la manière suivante : pincer B entre le pouce et l'index droit ; avec l'autre index, appuyer sur E vers le bas en passant sous le centre, qui s'ouvre alors ; en saisissant [EO] entre l'index et le pouce gauche et en desserrant B, on découvre la face cachée !

3. Faces et états du flexagone
Le flexagone de Stone peut apparaître dans trois états :
- Étoiles au centre (rouge sur une face, bleu sur l'autre) ;
- Hexagones au centre (vert sur une face, bleu sur l'autre) ;
- Ronds au centre (rouge sur une face, vert sur l'autre).
Ces faces sont de trois couleurs : rouge, verte ou bleue. Mais attention ! Bien que les faces Rouge et Bleue avec une étoile au centre présentent les mêmes dessins, on ne peut faire apparaître ni la face bleue avec un rond au centre, ni la face rouge avec un hexagone au centre (ni d'ailleurs la face verte avec une étoile au centre).

4. Le montage du flexagone sans colle
A. Découpez la bande "Flexagone sans colle".
B. Rainez chacun des plis marqués.
C. Marquez bien chaque pli, l'un après l'autre.
D. Mettez le verso devant vous comme indiqué. Pliez la bande en deux.
E. Pliez par l'avant les 4 triangles équilatéraux de gauche.
F. Repliez derrière les 3 triangles équilatéraux de droite puis repassez par dessus.
G. Pliez le triangle jaune sous le gris ; puis repliez vers l'avant le triangle gris et glissez-le avec le jaune sous la première épaisseur.
H. Repliez la dernière languette bleue sous la jaune (les deux © venant l'un sur l'autre).
Votre flexagone est prêt.
Voici les configurations des faces du flexagone construit en découpant et en pliant la bande "Flexagone sans colle" :

Bibliographie.
Pour un exposé élémentaire des "flexagones" vous pouvez consulter :
Problèmes et divertissements mathématiques de Martin Gardner, éd. Dunod, 1964,
ou Flexagones de Claudie et Didier Missenard, André et Jean-Philippe Deledicq, ACL - les éditions du Kangourou, 1996.
Voyez aussi le premier flexagone sans colle, inventé par Didier Boursin, dans Pliages et mathématiques de Valérie Larose et Didier Boursin, ACL - les éditions du Kangourou, 1997.

 

© 2006, ACL - les éditions du Kangourou.