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Le dépliant Les
pentaèdres diaboliques et la dissection du cube permet
de construire 2 pentaèdres et 4 tétraèdres,
à partir de leurs 6 patrons. Les 6 éléments
peuvent former un cube. Et les 2 pentaèdres sont
les 2 éléments d'un casse-tête :
il s'agit de les assembler de manière à former
une pyramide.
Une fois les patrons découpés,
les textes et images figurant dans ce dépliant peuvent
avoir été quelque peu éparpillés ;
ils sont donc repris ci-dessous.
Ce dépliant figure à notre catalogue :
Les pentaèdres
diaboliques.
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Les pentaèdres diaboliques
Le nom donné au « pentaèdre diabolique »
rappelle d'abord qu'il a 5 faces (penta = cinq, en grec) ;
l'adjectif par lequel nous avons décidé de qualifier
ce solide vient du caractère tentateur et déroutant
du puzzle constitué de deux de ces exemplaires (voir plus
bas). Ce solide a donc 5 faces, 6 sommets et 9 arêtes. C'est
un exemple inhabituel de la « relation d'Euler » :
6+5=9+2 (le nombre de faces + le nombre de sommets est égal
au nombre d'arêtes + 2). Et, de plus, il se trouve
que la construction du patron de ce solide donne lieu à
d'élégants tracés, détaillés
en bas de page.
Un pentaèdre diabolique est une sorte de
coin, formé de deux trapèzes placés en biseau
le long des côtés de deux triangles équilatéraux,
et pouvant se poser sur sa cinquième face carrée
(voir figures rouges ci-dessus).
Le puzzle des pentaèdres diaboliques
Les « pentaèdres diaboliques » sont
deux solides identiques dont les patrons sont donnés pour
montage. Construisez-les, cela vaut vraiment la peine ! Vous
pourrez alors proposer un très joli puzzle (classique et
assez connu) à vos amis ou parents :
Donnez-leur les deux pentaèdres et demandez-leur de
les assembler de manière à former une pyramide.
Plus précisément, cette pyramide
a 4 faces triangulaires (la base et 3 faces latérales) :
c'est un tétraèdre.
Si c'est nécessaire, vous pouvez leur montrer ce qu'est
un « tétraèdre » (avec
un dessin comme ci-contre).
Ce qui est diabolique, c'est qu'ils vont avoir un peu de mal
à trouver la solution ; mais ce qui est intéressant,
c'est qu'ils finissent en général par la découvrir
en quelques minutes. Après, ils pourront toujours dire :
« Ah ! C'était facile ! » … |
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La dissection du cube
Étonnant ! Le tétraèdre formé
des deux pentaèdres diaboliques s'inscrit assez naturellement
dans un cube. Les six côtés de ce tétraèdre
sont exactement six diagonales des six faces de ce cube !
Voyez ci-contre. Plus précisément, la couverture
de ce document montre la dissection d'un cube en 6 morceaux.
Deux de ces morceaux sont les pentaèdres diaboliques.
Les quatre autres morceaux sont des coins de cubes. Nous appelons
« coin-unité » un tel coin, constitué
de trois côtés du cube (de longueur unité)
et du triangle équilatéral construit sur leurs
extrémités. |
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La reconstitution du cube
Il vous faut absolument construire les six solides dont les
patrons sont inclus dans le dépliant ! Car les
surprises, et le plaisir intellectuel que vous en retirerez,
valent largement le (petit) temps que vous aurez passé
à les assembler. Pour reconstituer un cube à
partir des six pièces ici données, vous avez
pratiquement intérêt à procéder
ainsi :
- disposez d'abord deux coins-unités « face
à face », se touchant le long de leur côté
équilatéral (qui sera une diagonale de la face
basse du cube) puis posez, entre les deux, un pentaèdre
diabolique, comme sur le dessin ci-contre ;
- vous pourrez ensuite, sans difficulté, poser le deuxième
pentaèdre…
- et enfin les deux derniers coins.
Avec un peu d'attention, vous pouvez vous arranger pour que
chaque face du cube (et son opposée) soit d'une seule
couleur ! Bien combiné, non ? |
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Les coins-unités
Ces coins-unités sont des tétraèdres
« trirectangles » particulièrement
utiles pour comprendre la géométrie dans l'espace :
regardez la figure, où l'on a représenté
la face équilatérale pivotant vers l'avant.
On dispose alors d'une reproduction du coin bas de la pièce
dans laquelle on se trouve ; c'est bien pratique pour
dessiner des figures de l'espace. On peut ensuite faire pivoter
les deux triangles rectangles verticaux, pour obtenir un premier
patron de ce coin. Et voici encore une circonstance vraiment
remarquable : il y a exactement 4 patrons d'un tel coin…
Ce sont eux qui sont donnés dans le document !
N'est-il pas extraordinaire que ces quatre patrons, assez
différents d'aspect, donnent naissance au même
objet de l'espace ? |
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Volumes
Chaque coin-unité peut se regarder de deux manières :
- posé sur l'une de ses faces rectangle isocèle,
sa base est alors un demi-carré et sa hauteur le
côté du cube. En prenant le côté
du cube comme unité, le volume d'un coin-unité
vaut donc alors : (1/3)×(1/2)×1 = 1/6.
Les quatre coins du chaque cube occupent donc un volume
de 4/6 ; et il reste 2/6 pour les deux pentaèdres
diaboliques.
Conclusion : chaque pentaèdre diabolique a pour
volume 1/6, c'est-à-dire le même volume que
chaque coin-unité.
- posé sur sa face équilatérale, sa
base est alors la même que le tétraèdre
formé des deux pentaèdres diaboliques.
Ce tétraèdre a donc même base qu'un
coin-unité, et un volume double.
Conclusion : la hauteur du tétraèdre
formé des deux pentaèdres diaboliques est
le double de la hauteur d'un coin-unité.
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Consignes de constructions
- Découpez les patrons.
- Marquez les pli, entre faces ou languettes en repassant sur
les traits avec un crayon ou avec un stylo qui n'écrit
plus.
- Collez les languettes grises.
Le patron des pentaèdres diaboliques
Il donne lieu à une belle construction géométrique :
après avoir tracé un carré, on trace une
rosace de cercles comme pour former un classique réseau
de triangles équilatéraux. En voici le programme
filmé en cinq images…
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