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DE LA MESURE DU CERCLE

PROPOSITION I

 

Tout cercle équivaut au triangle rectangle pour lequel on a le rayon égal à l'un des côtés adjacents à l'angle droit et le périmètre égal à la base.

Que le cercle ABGD soit tel qu'on le suppose par rapport au triangle E; je dis qu'il lui est équivalent.

En effet, que le cercle soit plus grand, s'il se peut. Inscrivons-lui le carré AG, divisons les arcs en deux parties égales, et que les segments soient finalement moindres que l'excédent du cercle sur le triangle. Dès lors, la figure rectiligne est plus grande encore que le triangle. Prenons le centre N et menons la perpendiculaire NJ; dès lors, NJ est plus petit que le côté du triangle. Or, le périmètre de la figure rectiligne est aussi plus petit que le côté restant, puisqu'il est plus petit que la circonférence du cercle; par conséquent, la figure rectiligne est plus petite que le triangle; ce qui est absurde.

D'autre part, que le cercle soit, s'il se peut, plus petit que le triangle E; circonscrivons-lui un carré, divisons les arcs en deux parties égales et menons les tangentes aux points. Dès lors, l'angle sous OA, AP est droit; par conséquent, OP est plus grand que MP; car MP est égal à PL, et le triangle POP est donc aussi plus grand que la moitié de la figure OZAM. Il reste un ensemble de segments, pareils au segments PZA, qui est moindre que l'excédent du triangle E sur le cercle ABGD.

En conséquence, la figure rectiligne circonscrite est plus petite encore que le triangle E;ce qui est absurde, car elle est plus grande, parce que NA est égal à la hauteur du triangle. Dès lors, le cercle équivaut au triangle E.

 

PROPOSITION II

 

Le rapport du cercle au carré de son diamètre est celui de 11 à 14.

Soit un cercle dont le diamètre est AB; circonscrivons-lui le carré HG, soit DE le double de GD, et que EZ soit le septième de GD. Dès lors, puisque le rapport du triangle AGE au triangle AGD est celui de 21 à 7, tandis que le rapport du triangle AGD au triangle AEZ est celui de 7 à 1, le rapport du triangle AGZ au triangle AGD sera celui de22 à 7. Or, le carré de GH est quadruple

du triangle AGD, tandis que le triangle AGDZ est équivalent au cercle AB, puisque, d'une part, la hauteur AG est égale au rayon du cercle et que, d'autre part, il sera démontré que la base est le triple du diamètre augmenté, à peu de chose près, de son septième. En conséquence, le rapport du cercle au carré GH est celui de 11 à 14.

 

PROPOSITION III

 

Le périmètre de tout cercle vaut le triple du diamètre augmenté de moins de la septième partie, mais de plus des dix soixante et onzième parties du diamètre.

Soit un cercle, un diamètre AG, le centre E, une tangente GLZ et l'angle sous ZE, EG tiers d'un angle droit. Dès lors, le rapport de EZ à GZ est celui de 306 à 153, tandis que le rapport de EG à GZ est celui de 265 à 153. Partageons l'angle ZEG en deux parties égales par la droite EH; dès lors, ZE est à EG comme ZH est à HG. Par conséquent, la somme de ZE, EG est à ZG comme EG est à GH; de manière que le rapport de GE à GH est plus grand que celui de 571 à 153. Dès lors, le rapport du carré de EH au carré de HG est égal à celui de 349450 à 23409; donc, le rapport des racines est égal à celui de 591 1/8 à 153.

Que l'angle HEG soit de nouveau divisé en deux parties égales par la droite EU. Dès lors, de même, le rapport de EG à GU sera plus grand que celui de 1162 1/8 à 153; par conséquent, le rapport de UE à UG sera plus grand que celui de 1172 1/8 à 153.

Que l'angle UEG soit encore divisé en deux parties égales par la droite EK. Dès lors, le rapport de EG à GK sera plus grand que celui de 2334 1/4 à 153; par conséquent, le rapport de EK à GK est plus grand que celui de 2339 1/4 à 153.

Que l'angle KEG soit encore divisé en deux parties égales par la droite LE.

 

Dès lors, le rapport de EG à LG sera sera plus grand que celui de 4673 1/2 à 153; par conséquent, puisque l'angle ZEG, qui est le tiers de l'angle droit, a été divisé quatre fois en deux parties égales, l'angle LEG sera la quarante-huitième partie de l'angle droit. Faisons donc au point E un angle GEM égal à ce dernier angle. Dès lors, l'angle LEM est la vingt-quatrième partie de l'angle droit, et, par conséquent, la droite LM est le côté du polygone de 96 côtés circonscrit au cercle. Donc, puisqu'il a été démontré que le rapport de EG à GL est plus grand que celui de 4673 1/2 à 153, tandis que AG est le double de EG et que LM est le double de GL, il en résulte que le rapport de AG au périmètre du polygone de 96 côtés est aussi plus grand que celui de 4673 1/2 à 14688. De plus, ce dernier nombre est le triple du premier avec un excédent de 667 1/2 qui est moindre que la septième partie de 4673 1/2; de manière que le polygone circonscrit au cercle est plus petit que le triple augmenté de plus d'unseptième du diamètre. En conséquence, la circonférence du cercle est à fortiori plus petite que le triple augmenté de plus d'un septième du diamètre.

Soit un cercle de diamètre AG et un angle BAG qui soit le tiers de l'angle droit. Dès lors, le rapport de AB à BG est moindre que celui de 1351 à 780, tandis que le rapport de AG à GB est celui de 1560 à 780.

Divisons l'angle BAG en deux parties égales par la droite AH. Dès lors, puisque l'angle BAH est égal à l'angle HGB ainsi qu'à l'angle HAG, l'angle HG sera aussi égal à l'angle HAG. De plus, l'angle droit AHG est commun; par conséquent, le troisième angle HZG sera égal au troisième angle AGH. Il en résulte que les triangles AHG, GHZ sont équiangles. Dès lors, AH est HG comme GH est à HZ et comme AG est à GZ. Or, AG est à GZ comme la somme des droites GA, AB est à BG; par conséquent, la somme de GA, AB est aussi à BG comme AH est à HG. Il résulte de là que le rapport de AH à HG est moindre que celui de 2911 à 780, et que le rapport de AG à GH est moindre que celui de 3013 3/4 à 780. Divisons l'angle GAH en deux parties égales par la droite AU; le rapport de AU à UG sera, pour les mêmes motifs, plus petit que celui de 5924 3/4 à 780, ou que celui de 1823 à 240, car ces nombres sont respectivement les 4/13 des nombres précédents. Par conséquent, le rapport de AG à GU est moindre que celui de 1838 9/11 à 240.

Divisons encore l'angle UAG par la droite KA; dès lors, le rapport de AK à KG est moindre que celui de 1007 à 66, car ces nombres sont respectivement les 11/40 d'autres nombres. Par conséquent, le rapport de AG à GK est moindre que celui de 1009 1/6 à 66.

Divisons encore l'angle KAG en deux parties égales par la droite LA; dès lors, le rapport de AL à LG sera moindre que celui de 2016 1/6 à 66, tandis que le rapport de AG à GL sera moindre que celui de 2017 1/4 à 66.

Il en résulte que, par inversion, le rapport du périmètre du polygone au diamètre est plus grand que celui de 6336 à 2017 1/4. Or, le premier de ces nombres est trois et 10/71 fois plus grand que 2017 1/4; par conséquent, le périmètre du polygone de 96 côtés inscrit dans un cercle est aussi grand que le triple plus 10/71 du diamètre; de manière que le cercle est aussi, à fortiori, plus grand que le triple plus 10/71 du diamètre. Dès lors, la circonférence du cercle vaut trois fois le diamètre plus une partie inférieure au septième, mais supérieure aux 10/71 du diamètre.

 

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Reproduit avec l'aimable autorisation de la librairie BLANCHARD