Tétraquadri

Cette composition montre quatre quadrilatères pas tout à fait quelconques dont l'assemblage forme un quadrilatère... "quelconque", donnant une impression de perspective.

Le théorème illustré est connu sous le nom de Varignon : "En joignant les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque, on obtient un parallélogramme."

La démonstration est classique au collège.

Si on donne aux diagonales du quadrilatère certaines propriétés supplémentaires, on obtient alors des parallélogrammes particuliers :

• avec des diagonales perpendiculaires (ABEI), on obtient un rectangle ;
• avec des diagonales de même longueur (DEFG), on obtient un losange ;
• si les diagonales possèdent les deux propriétés précédentes (BCDE), on obtient un carré.

Les quatre cas possibles sont réunis ici sur une même figure que l'on peut ainsi construire :

• AB = BC = 24 cm et = 46° ;
• CE = BD = 28 cm et (CE) (BD) ;
• (AE) (BI), I étant l'intersection de la perpendiculaire à (AE) passant par B avec (DE) ;
• DF = EG = 20 cm ;
• H est l'intersection de (GF) avec (AI).

Le théorème de Varignon est encore vrai dans l'espace :

Pour tout quadrilatère "gauche" (ABCD), le quadrilatère (IJKL) obtenu en considérant les milieux des côtés de (ABCD) est un parallélogramme.

En effet, dans le plan du triangle (ABD), le théorème des milieux permet d'affirmer que (IL) est parallèle à (BD). De même, en considérant le plan du triangle (BCD), on obtient (JK)//(BD). D'où (IL)//(JK). Par un raisonnement analogue, on trouve (IJ)//(KL).

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