Pythagorescence

Le triangle ABC rectangle en A est un demi-rectangle d'or : le rapport des côtés AB et AC est égal au nombre d'or . = = 1,618 Le côté AB étant pris pour unité, les deux autres côtés sont : et . Le grand carré de base est la "génération 0". Les deux carrés de côtés respectifs AB et AC sont ceux de la "génération 1".

Les carrés des générations successives (0, 1, 2, 3 et 4) ont été représentés dans une même teinte.
Le théorème de Pythagore itéré assure que la somme des aires des carrés d'une même génération est toujours égale à l'aire du carré de génération 0.
Mais si, en plus, le rapport des côtés de l'angle droit est conservé d'une itération àl'autre, les figures successives construites sur un grand côté sont dans le même rapport avec les figures construites sur le petit côté : les carrés construits àl'étape n sur un grand côté d'un carré construit à l'étape n - 1 sur un petit côté sont donc identiques à ceux construits sur un petit côté d'un carré construit à l'étape n - 1 sur un grand côté.
C'est ce qui assure l'égalité des carrés E et E' sur la figure ; le même phénomène entraîne l'égalité des carrés F et G (l'égalité de F et F' étant plus évidente). Et l'on voit apparaître (entre les carrés d'un certain type repéré par un "p" à l'étape n) une relation du type analogue à celle qui donne naissance au triangle de Pascal. D'où l'extraordinaire propriété : dans une même génération les carrés de même dimension sont dénombrés par les coefficients binomiaux.

Génération 0 : 1 Génération 1 : 1, 1 Génération 2 : 1, 2, 1 Génération 3 : 1, 3, 3, 1 ... Génération n : 1, n, ..., , ..., n, 1

voir les autres affiches :
p-color - Tétraquadri - L'escargot de Pythagore
Carrés en série - Pythagorescence - La spirale dorée
commander les affiches