La spirale dorée

On dit que la "divine proportion" 1 / 1,618 est belle... et expliquerait la présence de "rectangles d'or" (rectangles ayant cette proportion dans leurs dimensions) dans la peinture, l'architecture, ...

Une particularité du rectangle d'or est la suivante : si l'on "découpe" le carré dont le côté est le petit côté du rectangle, le rectangle "restant" est un rectangle d'or. D'où les carrés successifs que l'on voit apparaître sur la composition. La spirale formée de quarts de cercle successifs suggère avec bonheur l'infiniment petit et l'infiniment grand.

• Construction du rectangle d'or

On se donne le petit côté AB du rectangle à construire (sa longueur est prise comme unité), et on construit le carré BAFI.

On prend le point D sur (AF) tel que ED = EI.

On a EI = .

On obtient bien un rectangle IFDC semblable au rectangle ABCD, puisque :

• La section dorée

La première mention d'un rectangle d'or figure dans les Éléments d'Euclide, livre II, proposition 11; il s'agit d'un problème pratique posé par l'arrivée d'un nouvel agriculteur voulant un champ avec accès au Nil : le propriétaire du champ carré A accepte de céder une partie B de son champ sur toute sa profondeur; il en garde A', tout en gagnant une certaine partie A'', qu'il veut carrée, sur la même largeur que A'.

On doit assurer que A'' et B ont même surface.

Cela a bien lieu lorsque le rapport du côté de A sur le petit côté de B égalera le nombre d'or .

Ce nombre vérifie l'équation , que l'on peut aussi écrire:

En remplaÁant le "x" du membre de droite par la valeur donnée par le membre de gauche, on obtient deux belles écritures de ce nombre: